4.2.3. ВТОРАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА
(ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ)

 

[на первую страницу раздела]

Две поверхности пересекаются по линии (совокупности линий), которая одновременно принадлежит каждой из них (рис. 4.35, 4.47, 4.38, 4.40). В зависимости от вида и взаимного положения поверхностей линия их пересечения может быть прямой (рис. 4.36, 14.37), плоской или пространственной ломаной (рис. 4.38, 4.39, 4.46), плоской или пространственной кривой (рис. 4.41, 4.42, 4.43, 4.44, 4.47, 4.48).
Построение этой линии (независимо от ее формы) сводится к построению ряда точек, одновременно принадлежащих каждой из пересекающихся поверхностей. Линия, в определенном порядке соединяющая эти точки, и будет искомой. Точки, образующие линию пересечения, разделяются на опорные (точки К, L, М на рис. 4.38; А, В, С, D на рис. 4.40) и промежуточные (точки 3, 4 на рис. 4.40). Опорными точками являются:
1) точки, принадлежащие участвующим в пересечении ребрам многогранника (рис.4.38);
2) точки, в которых линия пересечения пересекает линию видимого контура поверхности относительно той или иной плоскости проекций (точки С и D на рис. 4.40); проекции этих точек принадлежат очерковой линии соответствующей проекции поверхности и называются очерковыми. В этих точках проекция линии пересечения касается очерка проекции поверхности. В случае пересечения поверхности с плоскостью (рис. 4.41 - 4.44) очерковые точки делят соответствующую им проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части и называются точками смены видимости. При пересечении двух поверхностей (когда ни одна из них не является плоскостью) не каждая из очерковых точек является одновременно и точкой смены видимости;
3) экстремальные точки, то есть самая близкая и самая удаленная точки линии пересечения относительно той или иной плоскости проекций. Экстремальные точки относительно плоскости П1 называются высшей и низшей (точки А и В на рис. 4.40).
Основным способом построения точек, принадлежащих искомой линии пересечения, является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых является линией пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, а вторая - линией пересечения той же вспомогательной поверхности с другой из заданных поверхностей.
В соответствии с этим построение произвольных точек 1 и 2, принадлежащих линии l пересечения поверхностей Ф и (независимо от их вида), осуществляется по следующей общей схеме (рис. 4.35):
pr4_35.JPGРис. 4.35

1. Проводится вспомогательная поверхность , пересекающая заданные поверхности Ф и .
2. Определяются линии m и n пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных.
3. Отмечаются точки 1 и 2 пересечения построенных линий m и n, которые и являются искомыми, так как одновременно принадлежат данным поверхностям Ф и и, следовательно, линии l их пересечения.

В символической записи схема имеет вид:
1) Ф ;
2) m = Ф n = ;
3) 1 = m n 2 = m n.
Примечание.
Так как линии m и n принадлежат одной и той же вспомогательной поверхности , они могут пересекаться, касаться и не иметь общих точек. В последнем случае вспомогательная поверхность выбрана неудачно, т. е. вне зоны существования линии пересечения.
Многократное применение указанного способа позволяет определить достаточное количество точек (опорных и промежуточных), принадлежащих линии пересечения. При решении конкретной задачи необходимо на основании общей схемы составить алгоритмы для построения опорных и промежуточных точек линии пересечения. В качестве вспомогательных поверхностей могут быть выбраны плоскость, сферическая, цилиндрическая и коническая поверхности. Наиболее часто применяются плоскости (способ вспомогательных плоскостей) или сферы (способ вспомогательных сфер). Выбор вида и положения вспомогательных поверхностей определяется в основном тремя соображениями:
1. Необходимо определить положение целого ряда опорных точек линии пересечения.
2. Любая из проведенных вспомогательных поверхностей должна пересекать каждую из заданных по таким линиям, проекций которых были бы, как правило, графически простыми линиями, т. е. прямыми или окружностями.
3. Все вспомогательные поверхности должны пересекать заданные в пределах зоны возможного расположения линии пересечения, чтобы избежать лишних построений.
Первое условие ставит выбор вспомогательных поверхностей в зависимость от необходимости определения тех или иных опорных точек линии пересечения. Действительно, опорные точки располагаются на вполне определенных линиях, принадлежащих заданным поверхностям. Поэтому вспомогательные поверхности должны быть выбраны таким образом, чтобы они пересекали заданные именно по этим линиям с учетом выполнения второго условия. Так, для определения точек, принадлежащих участвующим в пересечении ребрам многогранника (рис.4.39, 4.46, 4.47), вспомогательные поверхности следует провести через эти ребра. Для построения очерковых точек (рис. 4.41 - 4.44 4.47, 4.49 и др.) вспомогательная поверхность должна проходить через соответствующую линию видимого контура поверхности. В частности, для поверхностей вращения (рис. 4.41, 4.43, 4.47, 4.48) - через главный меридиан и экватор. Для построения экстремальных точек кривой пересечения трудно указать общий для всех случаев принцип проведения вспомогательной поверхности. Каждый раз приходится предварительно искать те линии поверхностей, которым эти точки принадлежат, а затем через них проводить вспомогательные поверхности.
Например: 1. Высшую и низшую точки линии пересечения цилиндрических и конических поверхностей второго порядка с плоскостью общего положения (рис. 4.42) можно построить, руководствуясь тем, что касательные прямые к линии пересечения в этих точках являются горизонталями секущей поверхности. Касательная плоскость к заданной поверхности, проведенная через одну из зтих касательных прямых, будет касаться поверхности по образующей прямой, которой принадлежит одна из искомых точек. Касательная плоскость, проведенная через вторую касательную прямую, коснется поверхности по образующей, которой принадлежит вторая искомая точка. Таким образом, вспомогательные поверхности (в данном случае плоскости) следует провести через найденные указанным способом образующие поверхности.
2. Высшую и низшую точки линии пересечения поверхности вращения с плоскостью (рис.4.41, 4.43), двух поверхностей вращения (рис. 4.48) можно определить, руководствуясь тем, что они располагаются в общей плоскости симметрии для каждой пары пересекающихся поверхностей.
При этом следует иметь в виду:
а) плоскостью симметрии некоторой плоскости является любая плоскость, к ней перпендикулярная;
б) плоскостью симметрии поверхности вращения является любая плоскость, проходящая через ее ось;
в) общая плоскость симметрии должна удовлетворять обоим указанным условиям, т.е. проходить через ось поверхности вращения и быть перпендикулярной к секущей плоскости (в случае пересечения поверхности вращения с плоскостью) или проходить через оси поверхностей вращения (в случае пересечения двух поверхностей вращения).
Следует обратить внимание на то, что при решении конкретной задачи каждая из опорных точек требует составления своего особого алгоритма построения, в то время как промежуточные точки могут быть построены на основании одного и того же алгоритма.
Второе условие, которому должны удовлетворять вспомогательные поверхности, в большинстве случаев выполнимо. Иногда для его обеспечения приходится прибегать к преобразованию комплексного чертежа.
Третье условие, которое необходимо соблюдать при выборе вспомогательных поверхностей, устанавливает пределы, в которых последние можно проводить. Проекции линии пересечения могут располагаться только в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей, поэтому проекции вспомогательных поверхностей должны пересекать эту площадь наложения. Если в качестве вспомогательных используются горизонтальные плоскости уровня, то границами, между которыми их можно проводить, являются высшая и низшая точки линии пересечения (рис. 4.41, 4.43, 4.48).
Рассмотрим приложение изложенных принципов к решению конкретных задач.

Способ вспомогательных плоскостей

3адача 1 .
Построение линии пересечения двух плоскостей (поверхностей первого порядка) общего положения (рис. 4.36, 4.37).
pr4_36.JPGРис. 4.36

Линия пересечения двух плоскостей и (рис. 4.36) является прямой и, следовательно, определяется двумя точками М и N, одновременно принадлежащими обеим плоскостям. Каждая из них определяется по алгоритму, который составляется на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. В данном случае в качестве вспомогательных поверхностей выбираются плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня). Выберем, например, горизонтальную плоскость уровня Г и составим алгоритм (рис. 4.36 а), который в символической записи имеет вид:
pr4_37.JPGРис. 4.37

1) Г , Г П1
2) m = Г, n = Г;
3) М = m n
Определение второй точки N, принадлежащей линии пересечения плоскостей, выполняется по аналогичному алгоритму. Прямая, соединяющая точки М и N, является искомой.
Построение.
Графическая реализация обоих алгоритмов, то есть решение задачи на комплексном чертеже, показана на рис. 4.36, б.
Ели пересекающиеся плоскости (или одна из них) заданы многоугольниками, например ABC и DEFK
(рис. 4.37), то построение линии МN их пересечения значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить не произвольно, а через какие-либо две из сторон многоугольников. Сторона многоугольника (например, (АВ) на рис. 4.37), через которую проведена вспомогательная проецирующая плоскость Г, является уже линией пересечения плоскости Г и треугольника АВС. Остается лишь найти линию (1 - 2) пересечения плоскости Г со вторым многоугольником DEFK. Точка М пересечения линий (АВ) и (1 - 2) является искомой. Аналогично определяется вторая точка N линии пересечения.
Легко заметить, что в этом случае решение задачи сводится к последовательному решению двух первых позиционных задач (см выше в данном разделе). Видимость проекций многоугольников АВС и DEFK на П2 определена с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 7, на П - с помощью горизонтально конкурирующих точек 5 и 6.
Задача 2.
Построение линии пересечения многогранника с плоскостью. Линия пересечения многогранника плоскостью (рис. 4.38) является плоской ломаной линией, вершины которой - точки пересечения ребер, а стороны - линии пересечения граней многогранника с плоскостью. В соответствии с этим искомая линия может быть определена двумя частными способами, вытекающими из основного:
pr4_38.JPGРис. 4.38

1) построением линий пересечения граней многогранника с плоскостью, т. е. многократным решением второй позиционной задачи;
2) построением точек пересечения ребер многогранника с плоскостью, т. е. многократным решением первой позиционной задачи1.
Второй способ, являясь частным случаем первого (см. предыдущую задачу), графически более прост. Кроме того, вершины ломаной являются опорными точками линии пересечения, и их желательно получить непосредственно построением. Поэтому второй способ построения линии пересечения многогранника с плоскостью является предпочтительным.
Графическое решение задачи на построение линии пересечения пирамиды SАВС с плоскостью общего положения b) показано на рис. 4.39.
pr4_39.JPGРис. 4.39

Построение вершин К, L и М ломаной выполнено по алгоритму первой позиционной задачи. Например, алгоритм для определения точки К имеет вид:
1) (SА), П1;
2) (1,2) = ;
3) К = (1, 2) (SА) = (SА).
Точки L и М определены аналогично. Полученные проекции вершин соединены прямыми c учетом их видимости относительно П1 и П2.
Задача 3.
Построение линии пересечения кривой поверхности с плоскостью.
Линия (рис. 4.40) пересечения кривой поверхности Ф с плоскостью представляет собой плоскую кривую.
pr4_40.JPGРис. 4.40

Построение опорных (А, В, С и D)) и промежуточных (3 и 4) точек кривой l выполняется в соответствии со схемой, данной в начале п. 2.3 данного параграфа. В качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, положение которых в пространстве определяется условиями, также изложенными ранее.
3.1. Построение линии пересечения конуса вращения плоскостью общего положения b) изображено на рис. 4.41.
План решения:
А. Определение опорных точек
1. Для определения высшей А и низшей В точек кривой пересечения в качестве вспомогательной выбрана плоскость - общая плоскость симметрии конуса и плоскости b). Построение этих точек на чертеже выполнено в соответствии с алгоритмом:
pr4_41.JPGРис. 4.41

а) проведена горизонтально проецирующая плоскость , проходящая через ось конуса и перпендикулярная плоскости b); h, h ;
б) определены образующие (S1') и (S2') и линия (3 - 4) пересечения плоскости соответственно с поверхностью конуса и плоскостью b);
в) отмечены точки А и В пересечения полученных линий.
2. Для определения очерковых точек С и D (точек смены видимости кривой относительно П2) в качестве вспомогательной выбрана фронтальная плоскость уровня , проходящая через ось конуса и пересекающая его по очерковым относительно П2 образующим (S7) и (SЗ), а плоскость b) - по фронтали f(5 - 6). Построение этих точек ясно из чертежа: f S7 = С и f S8 = D.
Б. Определение промежуточных точек
Для построения промежуточных точек использованы горизонтальные плоскости уровня Г', Г", пересекающие конус по окружностям, а плоскость b) - по горизонталям, и т. д. в соответствии со схемой.
3.2. Построение линии пересечения наклонного эллиптического цилиндра с плоскостью общего положения Г(a b) представлено на рис. 4.42.
Определение опорных и промежуточных точек выполнено по однотипному алгоритму. В качестве вспомогательных выбраны фронтальные плоскости уровня, пересекающие цилиндр по тем образующим, на которых лежат искомые точки.
pr4_42.JPGРис. 4.42

Очерковые относительно П1 (точки А и В) найдены с помощью плоскостей и '. Очерковые относительно П2 (точки С и D) - с помощью плоскости . Высшая и низшая (точки E и F) - с помощью плоскостей и '. Положение образующих m и n, через которые проведены плоскости и ', определено из условия, что касательные к кривой в точках Е и F являются горизонталями плоскости Г(а b). Касательные t и t' к основанию цилиндра, проведенные параллельно произвольной горизонтали h плоскости Г, определяют искомые образующие.
3.3. Пример построения линии пересечения сферы с проецирующей плоскостью приведен на рис. 4.43.

pr4_43.JPGРис. 4.43

Построение выполнено в соответствии с общей схемой. Решение можно выполнить ни основании принадлежности точек линии пересечения поверхности сферы (по заданной фронтальной проекции линии пересечения определить ее горизонтальную проекцию).
3.4. Построение линии пересечения конуса вращения с плоскостью общего положения Г(а b) с использованием способа замены плоскостей проекций показано на рис. 4.44. Система П21 заменена системой П41, в которой плоскость Г является проецирующей. П4 h Г; П4 Г.
В системе П41 выполнено построение экстремальных А и В и промежуточных точек линии пересечения.
pr4_44.JPGРис. 4.44

Обратным преобразованием построены проекции этих точек на плоскости П2. Очерковые точки С и D определены так же, как показано в задаче, данной на рис. 4.41.
Вид линии, которая должна получиться при пересечении кривой поверхности c плоскостью, во многих случаях можно предусмотреть.

Плоские сечения некоторых поверхностей вращения

1. Сфера пересекается с плоскостью всегда по окружности.
2. Цилиндр вращения пересекается с плоскостью , образующей с его осью угол 90o, по эллипсу. В частном случае, если угол = 90o - по окружности, если плоскость параллельна оси цилиндра - по двум прямым.
3. При пересечении конуса второго порядка с плоскостями могут быть получены все виды кривых второго порядка: эллипс, парабола и гипербола. Эти линии называются коническими сечениями.
а) Если плоскость пересекает все образующие конуса вращения, то в общем случае в сечении получается замкнутая кривая второго порядка, не имеющая бесконечно удаленных точек, - эллипс (рис. 4.41, 4.44, 4.45, а). В частном случае, когда плоскость займет положение ', перпендикулярное оси конуса вращения, - окружность. Если плоскость " проходит через вершину конуса, то эллипс вырождается в точку.
pr4_45.JPGРис. 4.45

б) Если плоскость параллельна двум образующим l и l' конуса (рис. 4.45, в), то в сечении получается кривая второго порядка, имеющая одну бесконечно удаленную точку, - парабола. В частном случае, когда плоскость , перемещаясь параллельнo самой себе, займет положение ' (коснется конуса по образующей l ), парабола вырождается в двойную прямую.
в) Если плоскость параллельна двум образующим l и l' конуса (рис. 4.45, в), то в сечении получается кривая второго порядка, имеющая две бесконечно удаленные точки, - гипербола. В частном случае, когда плоскость , перемещаясь параллельно самой себе, займет положение ' (пройдет через вершину конуса), гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.
4. Любая плоскость пересекает гиперболоид вращения по коническому сечению такого же вида, по которому она пересекает асимптотический конус.
5. Тор пересекается плоскостями, перпендикулярными оси вращения или проходящими через нее по двум окружностям (рис. 2.3.50 - плоскости и Г ). Плоскость , касающаяся поверхности в двух точках, пересекает ее тоже по двум окружностям.

Задача 4. Построение линии пересечения двух многогранников (рис. 4.46).
В зависимости от взаимного расположения многогранников, возможны два вида их пересечения - врезка и проницание.
Врезкой называется такой вид пересечения многогранников, при котором в пересечении принимает участие часть ребер каждого из них; при этом линия пересечения представляет собой одну замкнутую пространственную ломаную.
pr4_46.JPGРис. 4.46

Проницанием называют такой вид пересечения многогранников, при котором в пересечении принимают участие все ребра одного из них и только часть ребер второго; при этом линия пересечения распадается на две замкнутые ломаные. В некоторых случаях одна из них или обе могут быть плоскими многоугольниками. При проницании возможны случаи, когда получающиеся в пересечении две замкнутые ломаные линии имеют одну или две общие точки.
Однако во всех случаях вершинами ломаной будут точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника - с гранями первого, а сторонами - отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников. Решение задачи заключается в нахождении вершин или сторон ломаной. В первом случае задача сводится к многократному построению точки пересечения прямой (ребра) с плоскостью, во втором - к многократному построению линии пересечения двух плоскостей.
На рис. 4.46, 1 показана динамическая схема взаимного пересечения двух многогранников.

Рис. 4.46, 1.

Таким образом, оба приема построения линии пересечения двух многогранников являются применением основного способа построения линии пересечения ловерхностей (см. задачи 1 и 2 п. 2.3) и осуществляются по схеме, данной в начале п. 2.3. В большинстве случаев при решении задачи определяют вершины ломаной (опорные точки линии пересечения), а затем соединяют - отрезками прямых те пары вершин, которые принадлежат одной и той же грани первого многогранника и одновременно одной и той же грани второго.
Примечание.
Выше уже указывалось, что проекции линии пересечения могут располагаться только в пределах наложения очерков одноименных проекций пересекающихся поверхностей. Поэтому, приступая к решению задачи, желательно выявить у обоих многогранников такие ребра, которые заведомо не участвуют в пересечении.
Алгоритм построения вершин ломаной аналогичен алгоритму задачи 2 п. 2.3. В задаче на построение линии пересечения пирамиды SАBС и призмы DEFD'E'F', данной на рис. 4.46, построение вершин К, L, М, N, Р, R (точек пересечения ребер пирамиды с поверхностью призмы) выполнено без применения вспомогательных плоскостей, на основании решения первой вспомогательной позиционной задачи (п. 2.1 данного параграфа).
Построение вершин Т и Q ломаной (точек пересечения ребра FF' призмы с поверхностью пирамиды) выполнено по алгоритму:
1) (FF') и S; П1;
2) (S - 1 - 2) = SАВС ;
3) Т = (S - 1 - 2) (FF') = SАВС (FF');
Q = (S - 1 - 2) (FF') = SАВС (FF').
Проекции сторон ломаной проведены с учетом их видимости на чертеже. Видимыми относительно той или иной плоскости проекций считаются те стороны ломаной, которые являются линией пересечения двух видимых относительно этой плоскости проекций граней многогранников.
Полученные вершины соединены в соответствии с приведенным выше правилом; линия пересечения состоит из двух ломаных: треугольника КLМ и пространственной ломаной NQRPT.
pr4_47.JPGРис. 4.47

На рис. 4.47 приведен еще один пример на построения линии пересечения двух многогранников. Разберите этот пример самостоятельно.

Задача 5. Построение линии пересечения многогранной и кривой поверхностей.
Линия пересечения многогранной и кривой поверхностей является совокупностью нескольких плоских кривых, каждая из которых - результат пересечения кривой поверхности с одной из граней многогранника (рис. 4.49). Эти плоские кривые попарно пересекаются в точках пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью. В случае проницания эта совокупность плоских кривых распадается на две части или более. Построение каждой из этих линий выполняется в соответствии с указаниями, данными в начале п. 2.3. Алгоритмы построения опорных и промежуточных точек аналогичны задаче 3 п. 2.3 (рис. 4.41, 4.44), задаче 3 п. 2.2 (рис. 4.30) данного параграфа. На рис. 4.49 показано построение на комплексном чертеже линии пересечения поверхностей пирамиды SMNPQR и конуса вращения.
pr4_49.JPGРис. 4.49

План решения:

А. Определение опорных точек
а) Очерковые относительно П1 точки A, В, С и D определены с помощью фронтальной плоскости уровня , пересекающей конус по образующим. Эта плоскость пересекает грань SMR пирамиды и проходит через ребро SP и т. д. по схеме.
б) Так как плоскость является общей плоскостью симметрии обеих поверхностей, точки А и D являются высшими, а С и В - низшими.
в) Так как проходит через ребро SP пирамиды, точки А и В являются точками пересечения этого ребра с поверхностью конуса (в них пересекаются плоские кривые АFВ и АЕВ, принадлежащие смежным граням пирамиды).
г) Очерковые относительно П1 точки Е, F, К и L определены с помощью горизонтальной плоскости уровня Г, пересекающей конус по соответствующим контурным образующим, а пирамиду - по пятиугольнику 3 - 4 - 5 - б - 7 и т. д. по схеме. Горизонтальные проекции Е1 F1 К1 L1 этих точек являются точками смены видимости проекций каждой плоской кривой на П1. Видимой на П, будет проекция той части кривой, которая расположена выше плоскости Г.

Б. Построение промежуточных точек

При построении промежуточных точек в качестве вспомогательных применялись фронтально проецирующие плоскости, проходящие через вершину S' конуса. На чертеже показано построение точек 1, 1' и 2, 2' с помощью фронтально проецирующих плоскостей и ', пересекающих соответственно конус по образующим (S' - 14), (S' - 15) и (S' - 16), (S' - 17), а грани SNP и SPQ пирамиды - по прямым (8 - 9), (8 - 10) и (11 - 12), (11 - 13). Из чертежа видно, что совокупность плоских кривых пересечения распалась на две части: плоскую кривую CDLK (эллипс) и совокупность двух плоских кривых АЕВ и АFВ (частей эллипсов). Такой случай называется проницанием. Так как общая плоскость симметрии параллельна П2, фронтальные проекции кривых АЕВ и АFВ совпали, а так как грань SMR пирамиды - фронтально проецирующая плоскость, проекция кривой СLDЕВК на П2 выродилась в прямую.

Задача 6. Построение линии пересечения двух кривых поверхностей.
Линия пересечения двух кривых поверхностей (рис. 4.48) в общем случае (случай врезки) представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части или более (случай проницания). Точки этой линии (опорные и промежуточные) определяются при помощи основного способа построения линии пересечения поверхностей, изложенного в начале п. 2.3, по схеме, приведенной там же.
На рис. 4.48 показано построение линии пересечения конуса вращения и части сферы.
Очерковые точки А и В определены с помощью фронтальной плоскости . Их фронтальные проекции А2 и В2 являются точками смены видимости фронтальной проекции линии пересечения.
pr4_48.JPGРис. 4.48

Высшая и низшая точки С и Е определены с помощью горизонтально проецирующей плоскости , которая является общей плоскостью симметрии обеих поверхностей и проходит через ось конуса и центр сферы. Для упрощения построений использован способ замены плоскостей проекций. Заменена плоскость П2 на П4, причем П4 .
Очерковые точки относительно П3 (Е и F) определены с помощью профильной плоскости . Промежуточные точки построены с помощью горизонтальных плоскостей. На рис. 4.49 показаны точки 1 и 2, найденные с помощью плоскости Г.


[назад]     [предыдущий подраздел] [следующий подраздел]